13 - Una camisa brodada

L'enunciat i solució del tretzè problema es troba aquí:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/camiseta/bordada/zigzag/elpepusoc/20110609elpepusoc_1/Ves/

La solució publicada a la web és aquesta:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/camisa/bordada/angulo/45/elpepusoc/20110614elpepusoc_10/Tes



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La solució que vam aportar és aquesta:


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La solución a las tres preguntas que presento es la siguiente:

1. 4,5 grados
2. 1,9675 cm
3. No se puede realizar

Explicación
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Observamos que, al ir trazando las líneas de longitud l entre los dos lados del ángulo estamos obteniendo triángulos isósceles, es decir, triangulos que tienen dos lados iguales, y también dos ángulos iguales.

Por definición, tenemos que el ángulo inicial es alpha.

Vemos con un simple dibujo que el ángulo que forma el segundo trazo con la base horizontal del ángulo es 2 * alpha.
Sucesivamente observamos que el ángulo que forma el tercer trazo con la parte no horizontal del ángulo es 3 * alpha.
El ángulo que forma el cuarto trazo con la parte horizontal es 4 * alpha.
...
El ángulo que forma el decimoctavo trazo con la parte horizontal es 18 * alpha.
El ángulo que forma el decimonoveno trazo con la parte no horizontal es 19 * alpha.
El ángulo que forma el vigésimo trazo con la parte horizontal es 90 grados, por hipótesis, y también 20 * alpha grados, por construcción.

Por tanto, tenemos la ecuación 90 = 20 * alpha, que tiene por solución alpha = 4,5 grados.

Si el lado inferior mide 25 cms, usando trigonometría tenemos que

l = 25 * tan(4,5) = 1,9675 cms.

Finalmente, observamos que no existe solución con ventiún trazos, ya que el trazo vigésimoprimero sería vertical, formando un ángulo de 90 grados con la parte horizontal del ángulo. Eso implicaría que el triángulo isósceles no sería un triángulo "normal" sería un triángulo con un sólo dos lados, lo cual significaría que estaríamos repitiendo un trazo.


Nota: Me ha costado bastante encontrar la solución, ya que inicialmente entendí que el vigésimo trazo tenía que finalizar en la línea horizontal. Al final dí en el hecho que podía finalizar en el segmento no horizontal y encontré la solución.

12 - Una exhibició de cotxes de carreres

El dohttp://www.blogger.com/img/blank.giftzè problema anava sobre cotxes de carreres:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/exhibicion/coches/carreras/elpepusoc/20110601elpepusoc_1/Ves/


La solució publicada a la Web és aquesta:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/cuadrado/coches/lado/elpepusoc/20110608elpepusoc_1/Tes


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La solució que vam enviar és aquesta:


Van a participar 400 coches.

Explicación
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El número de coches totales es n*n.
Un rectángulo con el mismo número de coches que el cuadrado, con el formato pedido va a tener
n+5 filas
y
n*n / (n+5) columnas

El problema consiste en buscar, si existe, un valor de n tal que n*n / (n+5) sea entero y ver si este valor es único.

Un modo de verlo es el siguiente:

Definamos la función f(x) = x - x*x/(x+5)
Esta función es creciente: f'(x) > 0 para todo valor de x positivo.
Esta función tiene como máximo 5: podemos ver que f(x) < 5 para todo valor de x positivo.

Observamos que: Encontrar una solución entera a x*x/(x+5) es equivalente a encontrar una solución entera de f(x)
Las soluciones enteras de f(x) sólo pueden tomar 4 valores: 1,2,3,4

Sabiendo que f(x) es creciente, vemos (usando por ejemplo una hoja de cálculo) que la unica de estas condiciones que se cumple es cuando x = 20. En este caso f(x) = 4.

Por tanto, si n (o x) es igual a 20, el número de coches tiene que ser 20*20 = (20+5) * (20*20) / (20+5) = 25 * 16 = 400.

11 - Pesant cargols

L'onzè phttp://www.blogger.com/img/blank.gifroblema era el següent:

http://www.elpais.com/videos/sociedad/Pesando/tornillos/elpepusoc/20110526elpepusoc_1/Ves/




La solució publicada a la web es troba aquí:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/Basta/sola/pesada/tornillos/elpepusoc/20110531elpepusoc_19/Tes


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La solució que vam enviar és aquesta:


Con una pesada basta.

Explicación
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Vamos a dar un modo de obtenerlo con una pesada. Como es el mínimo posible, no hará falta demostrar nada más.

Existen C(6,3) = 20 posibilidades distintas de distribución de las cajas que contienen los tornillos de 6 gramos:

Que estén en las cajas:

01. 1,2,3
02. 1,2,4
03. 1,2,5
04. 1,2,6
05. 1,3,4
06. 1,3,5
07. 1,3,6
08. 1,4,5
09. 1,4,6
10. 1,5,6
11. 2,3,4
12. 2,3,5
13. 2,3,6
14. 2,4,5
15. 2,4,6
16. 2,5,6
17. 3,4,5
18. 3,4,6
19. 3,5,6
20. 4,5,6

Si ponemos:

- 0 tornillos de la 1a caja
- 1 tornillo de la 2a caja
- 2 tornillos de la 3a caja
- 4 tornillos de la 4a caja
- 7 tornillos de la 5a caja
- 13 tornillos de la 6a caja

Vemos que el peso que dará la báscula en cada una de las veinte posibilidades será distinta, lo que nos permitirá identificar exactamente qué combinación es la buena.

01. 1,2,3 - Peso = 138 gramos
02. 1,2,4 - Peso = 140 gramos
03. 1,2,5 - Peso = 143 gramos
04. 1,2,6 - Peso = 149 gramos
05. 1,3,4 - Peso = 141 gramos
06. 1,3,5 - Peso = 144 gramos
07. 1,3,6 - Peso = 150 gramos
08. 1,4,5 - Peso = 146 gramos
09. 1,4,6 - Peso = 152 gramos
10. 1,5,6 - Peso = 155 gramos
11. 2,3,4 - Peso = 142 gramos
12. 2,3,5 - Peso = 145 gramos
13. 2,3,6 - Peso = 151 gramos
14. 2,4,5 - Peso = 147 gramos
15. 2,4,6 - Peso = 153 gramos
16. 2,5,6 - Peso = 156 gramos
17. 3,4,5 - Peso = 148 gramos
18. 3,4,6 - Peso = 154 gramos
19. 3,5,6 - Peso = 157 gramos
20. 4,5,6 - Peso = 169 gramos

10 - Com omplir amb peces un tauler

L'enunciat del desè problema era el següent:

http://www.elpais.com/articulo/sociedad/tablero/cubierto/piezas/elpepusoc/20110525elpepusoc_13/Tes

Aquest problema no el vam poder solucionar satisfactòriament. Us recomanem que llegiu la solució exposada a la pàgina web.